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Orario delle lezioni
| Lunedì | 9.30-11.30 | Teoria | Aula N3 |
| Martedì | 8.30-10.30 | Esercitazioni | Aula N1 |
| Giovedì | 11.30-13.30 | Teoria | Aula N1 |
| Venerdì | 9.30-11.30 | Esercitazioni | Aula N3 |
Ricevimento studenti
Negli orari indicati sul Portale di
Facoltà
Dott.ssa Ferrari:
Sospeso
Scopi del corso
La prima parte del corso fornisce i contenuti di base dell'algebra lineare, rendendo gli allievi in grado di utilizzare il calcolo matriciale e di applicarlo allo studio dei sistemi lineari. La seconda parte del corso impiega gli strumenti appresi per lo studio della geometria metrica, affine e proiettiva e per lo studio successivo delle curve e delle superficie in tali spazi geometrici.
Programma
Teoria ingenua degli insiemi: Corrispondenze e funzioni. Relazioni su un insieme. Definizione delle principali strutture algebriche.
Spazi vettoriali: Definizione di spazio vettoriale. Lineare dipendenza e indipendenza. Generatori. Spazi vettoriali finitamente generati: Lemma di Steinitz, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Sottospazi di uno spazio vettoriale. Intersezione, somma e somma diretta di sottospazi. Formula di Grassmann.
Matrici e sistemi lineari: Spazio vettoriale delle matrici. Prodotto righe per colonne. Rango e determinante. Sistemi lineari e loro risolubilità: teorema di Rouché Capelli e di Cramer. Autovalori e autovettori di una matrice. Diagonalizzabilità e criteri di diagonalizzabilità.
Forme bilineari e forme quadratiche: Matrici reali e simmetriche. Basi ortogonali e ortonormali. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Matrici ortogonalmente diagonalizzabili.
Spazi affini ed eculidei. Spazi affini: definizione, traslazioni, sottospazi, parallelismo. Coordinatizzazione di uno spazio affine e geometria
analitica nel piano e nello spazio tridimensionale. Spazi euclidei: distanze, ortogonalità, circonferenze, sfere, superfici di rotazione e luoghi geometrici fondamentali.
Spazi proiettivi: ampliamento proiettivo di una geometria affine, sottospazi proiettivi, coordinate omogenee e rappresentazione in coordinate omogenee dei sottospazi. Complessificazione.
Curve e superfici algebriche reali: ordine di una curva, punti semplici e singolari. Coniche, classificazione proiettiva, polarità,
classificazione
affine, forme canoniche. Quadriche: classificazione affine, coni e cilindri, studio di sezioni piane.
Testi consigliati
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S.Pellegrini - A.Benini - F.Morini, Algebra lineare 1, casa editrice Apollonio
- S.Pellegrini - A.Benini - F.Morini, Geometria analitica, casa editrice Apollonio
- S.Pellegrini - A.Benini - F.Morini, Esercizi di geometria analitica, casa editrice Apollonio
Modalità d'esame
L'esame consisterà, di norma, di una PROVA SCRITTA e di una PROVA ORALE negli appelli fissati secondo il calendario accademico.
In alternativa, nel corso del semestre sarà possibile sostenere 3 PROVE INTERMEDIE; il superamento di tutte e tre le prove intermedie sostituisce l'esame.
Per l'anno accademico 2009/2010 il calendario delle prove, compatibilmente con la disponibilità delle aule, sarà il seguente:
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I PROVA INTERMEDIA: giovedì 5 novembre, ore 14.00, aula magna.
- II PROVA INTERMEDIA: lunedì 21 dicembre, ore 9.00, aula magna.
- III PROVA INTERMEDIA: mercoledì 20 gennaio, ore 14.00, aula magna
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Alcune utili indicazioni sullo svolgimento degli esami e alcuni suggerimenti sulla preparazione possono essere trovati seguendo questo link.
Temi d'esame
I testi delle prove scritte e delle prove intermedie assegnate a partire dall'anno accademico 2009/2010 sono disponibili seguendo il seguente link:
I testi delle prove scritte e delle prove intermedie assegnate durante gli anni accademici 2008/2009, 2007/2008, 2005/2006, 2003/2004, 2002/2003,
2001/2002, 2000/2001, 1999/2000, 1998/1999 sono disponibili seguendo i seguenti links:
Diario delle lezioni e materiale didattico
(Il simbolo  indica che le trasparenze/appunti della lezione sono scaricabili)
| Teoria | Esercitazioni |
|---|
- Lunedì 21/09: Presentazione del corso; richiami di teoria degli insiemi.
- Giovedì 24/09: Richiami sugli insiemi; corrispondenze funzioni e relazioni, operazioni e struttura di gruppo
- Lunedì 28/09: Esempi di gruppi; struttura di campo ed esempi; operazione esterna; struttura di spazio vettoriale ed esempi
- Giovedì 01/10: Sottospazi vettoriali e caratterizzazione. Combinazioni lineari. Insiemi liberi e legati e loro proprietà
- Lunedì 05/10: Copertura lineare, sistemi di generatori e basi; lemma di Steinitz e teorema di esistenza di basi.
- Giovedì 08/10: Dimensione di uno spazio vettoriale; teorema del completamento a base; caratterizzazione delle basi e componenti di un
vettore; intersezione e somma di sottospazi.
- Lunedì 12/10: Somma diretta di sottospazi e complemento diretto; formula di Grassmann; rango di una matrice e legame con la lineare
indipendenza; spazio
delle righe e delle colonne di una matrice.
- Mercoledì 14/10: Sistemi lineari, compatibilità; teorema di Rouché-Capelli.
- Giovedì 15/10: Teorema di Cramer; sistemi principali equivalenti; sistemi omogenei.
- Giovedì 22/10: () Sistemi omogenei e regola dei minori; autovalori, autovettori e autospazi; matrici simili e matrici diagonalizzabili;
primo criterio di diagonalizzabilità.
- Lunedì 26/10: Molteplicità algebrica e geometrica; un secondo criterio di diagonalizzabilità; forme bilineari, prodotti
scalari e ortogonalità.
- Mercoledì 28/10: Complemento ortogonale; prodotti scalari definiti positivi; norma di un vettore.
- Giovedì 29/10: Proprietà della norma; basi ortogonali/ortonormali e processo di Gram-Schmidt; matrice di una forma bilineare.
- Lunedì 02/11: Matrice di una forma bilineare; matrici ortogonali; matrici reali e simmetriche; matrici ortogonalmente diagonalizzabili.
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- Martedì 22/09: () Matrici; operazioni tra matrici
- Venerdì 25/09: () Operazioni tra matrici e struttura di gruppo; trasposizione; particolari classi di matrici
- Martedì 29/09: () Minori di una matrice, determinante di una matrice quadrata
- Venerdì 02/10: () Proprietà del determinante. Matrici invertibili.
- Martedì 06/10: () Spazi vettoriali e sottospazi; insiemi di generatori; insiemi liberi.
- Venerdì 09/10: () Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
- Martedì 13/10: () Rango di una matrice; teoremi di Kronecker e degli orlati.
- Venerdì 16/10: () Intersezione e somma di sottospazi; somma diretta; complemento diretto.
- lunedì 19/10: () Componenti di vettori, sequenze libere e legate, complemento diretto. Sistemi lineari.
- martedì 20/10: () Sistemi lineari.
- venerdì 23/20: () Sistemi lineari. Autovalori, autovettori e diagonalizzabilità
- Martedì 27/10: ()Matrici diagonalizzabili.
- Venerdì 30/10: () Diagonalizzazione, forme bilineari, prodotti scalari, complemento ortogonale.
- Venerdì 06/11: () Correzione test; prodotti scalari, basi ortogonali e ortonormali.
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- Lunedì 09/11: Definizione di spazio affine; sottospazi affini, sottospazi lineari e loro proprietà; parallelismo tra
sottospazi.
- Martedì 10/11: Proprietà del parallelismo; proprietà geometriche di punti, rette e piani; riferimenti affini; equazioni
di una traslazione.
- Giovedì 12/11: Punto medio; equazioni parametriche di un sottospazio lineare; equazioni cartesiane di un iperpiano.
- Lunedì 16/11: Equazioni cartesiane di retta e piano in A3(R); posizione reciproca di due rette nel piano;
fasci di rette.
- Giovedì 19/11: Posizione reciproca di rette e piani in A3(R), fasci di piani e stelle; spazi euclidei,
ortogonalità; riferimenti cartesiani, ortogonalità tra rette.
- Lunedì 23/11: Ortogonalità tra rette, piani e iperpiani. Angoli tra due direzioni.
- Giovedì 26/11: Sfere e circonferenze nello spazio euclideo 3-dimensionale. Ampliamento proiettivo del piano affine.
- Lunedì 30/11: Geometria analitica del piano ampliato; complessificazione del piano; curve algebriche reali.
- Mercoledì 2/12: Caratterizzazione dei punti multipli; coniche; classificazione proiettiva delle coniche.
- Lunedì 7/12: Classificazione affine delle coniche generali; polarità definita da una conica; diametri centro e asintoti di una
conica.
- Giovedì 10/12: Proprietà metriche delle coniche: assi, vertici. Ampliamento e complessificazione dello spazio euclideo reale
3-dimensionale. Superfici algebriche reali.
- Lunedì 14/12: Punti multipli. Quadriche; punti doppi e quadriche riducibili; caratterizzazione di coni e cilindri.
- Giovedì 17/12: Conica impropria e classificazione affine
delle quadriche generali; classificazione dei punti semplici di una quadrica; sezioni piane di una
quadrica.
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- Venerdì 13/11: () Matrici reali e simmetriche; geometria analitica del piano affine reale.
- Martedì 17/11: () Fasci di rette, punto medio e simmetria centrale nel piano affine, simmetria rispetto ad una retta in una direzione.
Spazio affine 3-dimensionale: rette e piani.
- Venerdì 20/11: () Interpretazione geometrica di sistemi lineari; rette sghembe.
- Martedì 24/11: () Spazio affine tridimensionale; piano euclideo; circonferenze.
- Venerdì 27/11: () Geometria analitica dello spazio euclideo tridimensionale.
- Martedì 1/12: () Rette e piani nello spazio; rette sghembe e retta di minima distanza.
- Giovedì 3/12: () Distanze nello spazio tridimensionale; luoghi ottenuti con le formule delle distanze; angoli tra due direzioni;
sfere e piani assiali.
- Venerdì 4/12: () Sfere e circonferenze nello spazio tridimensionale.
- Mercoledì 9/12: () Superfici di rotazione.
- Venerdì 11/12: () Coniche.
- Martedì 15/12: () Coniche.
- Mercoledì 16/12: () Fasci di coniche.
- Venerdì 18/12: () Esercizi vari da temi d'esame.
- Martedì 22/12: () Quadriche: riconoscimento e sezioni piane.
- () Esercizi vari di riepilogo.
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