Abstract

Partizioni di gruppi e strutture geometriche
Abstract. Se K è un campo, finito o infinito, è ben noto che su tale campo è possibile costruire lo spazio affine di dimensione n, che indicheremo con AG(n,K). Tale struttura è costituita dall'insieme P dei punti, che può essere identificato con l'insieme Kⁿ, dalla famiglia R delle rette, che concidono con i traslati dei sottospazi unidimensionali dello spazio vettoriale Kⁿ, e da una relazione di equivalenza definita tra le rette, il parallelismo. In questa situazione le applicazioni del tipo τ_a: P ----> P x ----> x + a dove "+" è l'operazione commutativa dello spazio vettoriale Kⁿ, sono collineazioni, ovvero biiezioni tra i punti che mandano, insieme alle loro inverse, rette in rette e costituiscono un gruppo transitivo sui punti di P. Tra tali applicazioni rivestono un ruolo particolare le dilatazioni, ovvero le collineazioni che mandano rette in rette parallele e le traslazioni, ovvero le dilatazioni prive di punti fissi (come le τ_a). Inoltre le rette che passano per il punto 0 sono sottogruppi di (Kⁿ,+) e vale l'assioma euclideo delle parallele, ovvero data una retta R in R ed un punto p in P esiste un'unica retta che passa per p ed è parallela a R. La nozione di struttura affine parallela, di cui tratta questo lavoro, si presenta come una generalizzazione della situazione che si osserva con gli spazi affini. Il particolare si parla di struttura affine parallela per riferirsi a terne (P,R,\|\|) in cui P è un insieme non vuoto, R una famiglia di sottoinsiemi di P e in cui sia verificato: dati due elementi distinti di P (punti) esiste un unico sottoinsieme di R (rette) che li contiene entrambi; "\|\|" è una relazione di equivalenza definita su R che soddisfa l'assioma euclideo delle parallele. Per tali strutture è possibile definire in modo analogo a quello degli spazi affini le nozioni di collineazioni, dilatazioni e traslazioni, ma naturalmente non valgono, in generale, tutte le proprietà che si mostrano per i corrispondenti affini. In particolare, a differenza di quanto accade in uno spazio affine, le traslazioni non sempre costituiscono un gruppo. Un caso particolare di strutture affini parallele è poi quello in cui esiste un gruppo T di traslazioni che agisce in modo transitivo, e quindi regolare, sui punti di P. In questa situazione è possibile dotare l'insieme P della struttura di gruppo, ed in questo caso, come accadeva nei piani affini, le traslazioni di T sono date dalla moltiplicazione per elementi di P [Occorre però distinguere tra moltiplicazioni a sinistra ed a destra, perché non ci si trova più necessariamente in un ambiente commutativo] e le rette che passano per il punto unità sono dei sottogruppi. Di più tali rette sono caratterizzate dalle proprietà ogni punto di P è contenuto in una (e una sola) retta che passa per 1; due rette si intersecano solamente nell'unità e costituiscono quindi una partizione del gruppo P. Si offre così l'opportunità di gettare un ponte tra la teoria algebrica dei gruppi dotati di partizione e la geometria delle strutture affini parallele di traslazione. In merito alle strutture affini parallele di traslazione poi si presenta di particolare interesse lo studio dei casi in cui il gruppo transitivo T risulta o meno normale nel gruppo delle collineazioni. Mentre infatti la proprietà di essere normale è sempre attesa negli spazi affini, sono stati trovati esempi di strutture affini parallele di traslazione in cui tale condizione non è verificata. Più nel dettaglio il Capitolo I è dedicato a richiamare alcune nozioni algebriche di base, come la definizione e le proprietà dei gruppi nilpotenti o dei p-gruppi, che verranno poi impiegate nei capitoli successivi. Il Capitolo II è ancora di natura algebrica. Viene introdotta la definizione di partizione di un gruppo e vengono dimostrate le proprietà basilari delle partizioni. Per i gruppi finiti viene poi presentato il risultato di classificazione dovuto, tra gli altri, a Baer, Suzuki, Kegel e Thompson e per ogni classe di possibili gruppi con partizione viene fornita una descrizione e sono presentati degli esempi. In particolare si parla di gruppi di Frobenius, di gruppi di Hughes-Thompson, di gruppi di Suzuki e di gruppi proiettivi e si dimostrano alcune loro proprietà Il Capitolo III, di natura decisamente più geometrica, introduce il concetto di struttura affine parallela e di struttura affine parallela di traslazione e dimostra il basilare teorema di André che mostra le relazioni esistenti tra i gruppi con partizione e queste ultime strutture geometriche. Viene poi condotta un'indagine sulle proprietà caratteristiche delle strutture affini parallele di traslazione, in particolare mediante l'analisi delle loro collineazioni. Si mostrano esempi in cui la totalità delle traslazioni non costituisce un gruppo e si lega la proprietà del gruppo transitivo T di essere o meno normale nel gruppo delle collineazioni con la proprietà algebrica delle dilatazioni di essere o meno automorfismi del gruppo con partizione. Si concentra poi l'attenzione prima sulle strutture affini parallele di traslazione in cui il gruppo con partizione G è abeliano, poi su quelle in cui è finito, sfruttando i risultati di classificazione presentati nel capitolo II. Viene infine proposto ed analizzato un esempio, costruito da Biliotti e Herzer nel 1983 di una struttura affine parallela di traslazione in cui il gruppo T delle traslazioni transitivo sui punti non è normale nel gruppo delle dilatazioni. Il Capitolo IV è dedicato all'analisi di una particolare classe di strutture affini parallele di traslazione, quelle in cui la partizione del gruppo T di traslazioni regolare sui punti risulta essere normale, ovvero la famiglia dei sottogruppi della partizione è chiusa rispetto al coniugio. Tali strutture prendono anche il nome di spazi cinematici e tra le loro rette è possibile introdurre una ulteriore relazione di equivalenza che verifica l'assioma euclideo delle parallele e che prende il nome di parallelismo destro. Uno spazio cinematico risulta caratterizzato da alcuni suggestivi assiomi configurazionali, legati all'intersezione di rette parallele dei due tipi (chiusura dei parallelogrammi misti) e alle classi di parallelismo (configurazioni di Desargues miste). Si caratterizzano poi gli spazi cinematici in cui le due relazioni di parallelismo sono effettivamente distinte come quelli in cui il gruppo con partizione non è abeliano, si analizza la natura delle collineazioni che conservano entrambi i parallelismi e nel caso non abeliano (strutture affini parallele di traslazione lineari sghembe) si dimostra un significativo teorema: nessuna dilatazione non banale può essere un automorfismo del gruppo definito sull'insieme P dei punti. Nasce allora il problema se possano esistere spazi cinematici con gruppo di traslazioni regolare T non abeliano, che ammettano dilatazioni proprie non banali, o, più in generale, collineazioni che fissano il punto unità e non sono automorfismi del gruppo P. L'interesse si sposta dunque verso il gruppo transitivo T e, in particolare, qualora tale gruppo non sia normale nel gruppo delle collineazioni, si introducono ulteriori relazioni di parallelismo che vengono dette ammissibili e si analizzano le loro relazioni reciproche. Nell'ultimo paragrafo si prende in esame il caso degli spazi cinematici ottenuti da particolari algebre, dette cinematiche, per mostrare che in tali strutture il parallelismo destro risulta univocamente determinato dal sinistro e concludere che il gruppo T è normale nel gruppo delle collineazioni.

Partizioni di gruppi e strutture geometriche

Abstract.

Se K è un campo, finito o infinito, è ben noto che su tale campo è possibile costruire lo spazio affine di dimensione n, che indicheremo con AG(n,K). Tale struttura è costituita dall'insieme P dei punti, che può essere identificato con l'insieme Kⁿ, dalla famiglia R delle rette, che concidono con i traslati dei sottospazi unidimensionali dello spazio vettoriale Kⁿ, e da una relazione di equivalenza definita tra le rette, il parallelismo. In questa situazione le applicazioni del tipo

τ_a: P ----> P
x ----> x + a

dove "+" è l'operazione commutativa dello spazio vettoriale Kⁿ, sono collineazioni, ovvero biiezioni tra i punti che mandano, insieme alle loro inverse, rette in rette e costituiscono un gruppo transitivo sui punti di P. Tra tali applicazioni rivestono un ruolo particolare le dilatazioni, ovvero le collineazioni che mandano rette in rette parallele e le traslazioni, ovvero le dilatazioni prive di punti fissi (come le τ_a). Inoltre le rette che passano per il punto 0 sono sottogruppi di (Kⁿ,+) e vale l'assioma euclideo delle parallele, ovvero data una retta R in R ed un punto p in P esiste un'unica retta che passa per p ed è parallela a R.

La nozione di struttura affine parallela, di cui tratta questo lavoro, si presenta come una generalizzazione della situazione che si osserva con gli spazi affini. Il particolare si parla di struttura affine parallela per riferirsi a terne (P,R,||) in cui P è un insieme non vuoto, R una famiglia di sottoinsiemi di P e in cui sia verificato:

dati due elementi distinti di P (punti) esiste un unico sottoinsieme di R (rette) che li contiene entrambi;
"||" è una relazione di equivalenza definita su R che soddisfa l'assioma euclideo delle parallele.

Per tali strutture è possibile definire in modo analogo a quello degli spazi affini le nozioni di collineazioni, dilatazioni e traslazioni, ma naturalmente non valgono, in generale, tutte le proprietà che si mostrano per i corrispondenti affini. In particolare, a differenza di quanto accade in uno spazio affine, le traslazioni non sempre costituiscono un gruppo.

Un caso particolare di strutture affini parallele è poi quello in cui esiste un gruppo T di traslazioni che agisce in modo transitivo, e quindi regolare, sui punti di P. In questa situazione è possibile dotare l'insieme P della struttura di gruppo, ed in questo caso, come accadeva nei piani affini, le traslazioni di T sono date dalla moltiplicazione per elementi di P [Occorre però distinguere tra moltiplicazioni a sinistra ed a destra, perché non ci si trova più necessariamente in un ambiente commutativo] e le rette che passano per il punto unità sono dei sottogruppi. Di più tali rette sono caratterizzate dalle proprietà

ogni punto di P è contenuto in una (e una sola) retta che passa per 1;
due rette si intersecano solamente nell'unità

e costituiscono quindi una partizione del gruppo P. Si offre così l'opportunità di gettare un ponte tra la teoria algebrica dei gruppi dotati di partizione e la geometria delle strutture affini parallele di traslazione. In merito alle strutture affini parallele di traslazione poi si presenta di particolare interesse lo studio dei casi in cui il gruppo transitivo T risulta o meno normale nel gruppo delle collineazioni. Mentre infatti la proprietà di essere normale è sempre attesa negli spazi affini, sono stati trovati esempi di strutture affini parallele di traslazione in cui tale condizione non è verificata.

Più nel dettaglio il Capitolo I è dedicato a richiamare alcune nozioni algebriche di base, come la definizione e le proprietà dei gruppi nilpotenti o dei p-gruppi, che verranno poi impiegate nei capitoli successivi.

Il Capitolo II è ancora di natura algebrica. Viene introdotta la definizione di partizione di un gruppo e vengono dimostrate le proprietà basilari delle partizioni. Per i gruppi finiti viene poi presentato il risultato di classificazione dovuto, tra gli altri, a Baer, Suzuki, Kegel e Thompson e per ogni classe di possibili gruppi con partizione viene fornita una descrizione e sono presentati degli esempi. In particolare si parla di gruppi di Frobenius, di gruppi di Hughes-Thompson, di gruppi di Suzuki e di gruppi proiettivi e si dimostrano alcune loro proprietà

Il Capitolo III, di natura decisamente più geometrica, introduce il concetto di struttura affine parallela e di struttura affine parallela di traslazione e dimostra il basilare teorema di André che mostra le relazioni esistenti tra i gruppi con partizione e queste ultime strutture geometriche. Viene poi condotta un'indagine sulle proprietà caratteristiche delle strutture affini parallele di traslazione, in particolare mediante l'analisi delle loro collineazioni. Si mostrano esempi in cui la totalità delle traslazioni non costituisce un gruppo e si lega la proprietà del gruppo transitivo T di essere o meno normale nel gruppo delle collineazioni con la proprietà algebrica delle dilatazioni di essere o meno automorfismi del gruppo con partizione. Si concentra poi l'attenzione prima sulle strutture affini parallele di traslazione in cui il gruppo con partizione G è abeliano, poi su quelle in cui è finito, sfruttando i risultati di classificazione presentati nel capitolo II. Viene infine proposto ed analizzato un esempio, costruito da Biliotti e Herzer nel 1983 di una struttura affine parallela di traslazione in cui il gruppo T delle traslazioni transitivo sui punti non è normale nel gruppo delle dilatazioni.

Il Capitolo IV è dedicato all'analisi di una particolare classe di strutture affini parallele di traslazione, quelle in cui la partizione del gruppo T di traslazioni regolare sui punti risulta essere normale, ovvero la famiglia dei sottogruppi della partizione è chiusa rispetto al coniugio. Tali strutture prendono anche il nome di spazi cinematici e tra le loro rette è possibile introdurre una ulteriore relazione di equivalenza che verifica l'assioma euclideo delle parallele e che prende il nome di parallelismo destro. Uno spazio cinematico risulta caratterizzato da alcuni suggestivi assiomi configurazionali, legati all'intersezione di rette parallele dei due tipi (chiusura dei parallelogrammi misti) e alle classi di parallelismo (configurazioni di Desargues miste). Si caratterizzano poi gli spazi cinematici in cui le due relazioni di parallelismo sono effettivamente distinte come quelli in cui il gruppo con partizione non è abeliano, si analizza la natura delle collineazioni che conservano entrambi i parallelismi e nel caso non abeliano (strutture affini parallele di traslazione lineari sghembe) si dimostra un significativo teorema: nessuna dilatazione non banale può essere un automorfismo del gruppo definito sull'insieme P dei punti. Nasce allora il problema se possano esistere spazi cinematici con gruppo di traslazioni regolare T non abeliano, che ammettano dilatazioni proprie non banali, o, più in generale, collineazioni che fissano il punto unità e non sono automorfismi del gruppo P. L'interesse si sposta dunque verso il gruppo transitivo T e, in particolare, qualora tale gruppo non sia normale nel gruppo delle collineazioni, si introducono ulteriori relazioni di parallelismo che vengono dette ammissibili e si analizzano le loro relazioni reciproche. Nell'ultimo paragrafo si prende in esame il caso degli spazi cinematici ottenuti da particolari algebre, dette cinematiche, per mostrare che in tali strutture il parallelismo destro risulta univocamente determinato dal sinistro e concludere che il gruppo T è normale nel gruppo delle collineazioni.